Aşağıdaki polar koordinatlarinda verilmii, Poisson denklemi için Dirichlet problemini ele alalim.

Bu problem, mühendislik ve çeşitli fizik problemlerinde görülen, akışkanlar mekaniğinde [1,2], elektrostatikte potansiyeli belirlemede [3] ve elasticity teorisinde [4] ele alınan matematiksel bir modeldir. Burada iki tekillik durumu görülmektedir:

(i) Polar bölgenin köşe noktaları ile bağlantılı olarak geometriksel tekillik,
(ii) noktasındaki tekillik.

Daha sonra bir örnekte de göstereceğimiz üzere, (1) probleminin zayıf çözümünün düzenliliği(regularity)   açısına bağlıdır [5,6]. Bu, 2. mertebeden eliptik problemler için genel bir özelliktir. noktası hesaplanabilir sınır gibi ele alındığından, (ii) koşulu standart sonlu fark şemalarında zorluk çıkardır. Bu tarz zorluklardan kaçmak için literatürde çeşitli yöntemler geliştirilmiştir [7,10].

Bu çalışmada (1) problemi için konservatif sonlu fark şeması ve polar koordinatlarda sonlu fark denklemleri ile bağlantılı simetrik olmayan sparse-blok matris verilmiştir. Buradaki yaklaşımımız Lax-Wondroff teoremine dayanmaktadır [13]. Benzer teknikler sınır değer

probleminin klasik çözümü ele alınarak [14] de kullanılmıştır. (1) probleminin   sınırlı zayıf çözümünü aradığımız için   noktasında sınırlılık koşulunu sağladığını talep edelim:

(2)

Böylece yalnızca (1) eliptik denkleminin değil aynı zamanda (2) koşulunun da yaklaşımını yapmamız gerekiyor. Bu koşul noktasının civarında sonlu fark şemasının konservatifliğini temin eder.

Dahası (1)- (2) probleminin sonlu fark yaklaşımı,   periyodiklik yaklaşımından dolayı simetrik olmayan büyük sparse matrislere karşılık gelmektedir. Bu lineer sistemleri çözmek ise zaman alıcı algoritmalar gerektirir. Biz burada, elde edilen matrisin yapısıyla hızlı bir iterasyon algoritması geliştirdik.

Burada olduğunu varsayalım. ve değişkenlerine bağlı olarak düzgün şebekeyi aşağıdaki şekilde tanımlayalım:

Buna göre polar düzgün şebeke şeklinde tanımlanır.(Fig.1.). Sınır düğüm noktaları ise,

Simdi   integralini nümerik olarak hesaplayalim.

Esitligin sag tarafindaki ifadeye merkezi fark türev yaklasimini uygularsak:

integral operatörünün asagidaki sonlu fark yaklasimin elde ederiz:</p<

Benzer yolla (3) ün sag tarafindaki integral operatörünün de yaklasimini yaparsak:

(3)’ün sag tarafina ise nümerik integrali uygularsak, sonuç olarak asagidaki denklemi elde ederiz:

Burada tekrar nümerik integralleme formülünü kullandıktan sonra, türev için standart sonlu fark yaklaşımlarını yazarsak, katmanında aşağıdaki sonlu fark denklemini elde ederiz:

(4)-(5) denklemleri, polar sebekede (1) Poisson denklemine karsilik gelen sonlu fark gösterimidir.

(4)-(5) sonlu fark denklemleri K := NxM bilinmeyenli cebirsel denklemler sistemine karsilik gelir. Burada bilinmeyen,

olarak gösterirsek, denklemler sistemini Ay=F olarak yazabiliriz. dim A=KxK boyutlu A pozitif bant matrisi

formundadır. Burada MxM boyutlu blok matrisleri aşağıdaki şekilde tanımlanır:

(4)-(5) sonlu fark şemasından ve parametrelerini

(1)-(2) probleminin analitik çözümünü

olarak verebiliriz. Sağ taraf fonksiyonu da noktasında tekildir. Tablo 2’de Gauss-Seidel ve iki iterasyon yöntemi olan SOR yöntemi ve Bi-Conjugate Gradient (BCG) yöntemleri karşılaştırılmıştır. Burada durdurucu parametresi için iterasyon, sağlandığında durdurulmuştur.

şebekede nümerik çözümün grafiğini gösterelim.

Referanslar:
[1] F.M. White, Viscous Fluid Flow, McGraw-Hill, New York, 1991.
[2] F.S. Sharman, Viscous Flow, McGraw-Hill, New York, 1990.
[3] J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, 2nf Ed., Wiley, New York, 1975.
[4] A.I. Lur'e, Three-Dimensional Problems of the Theory of Elasticity, Interscience Publishers, New York, 1964.
[5] S. Agmon, A. Douglis, L. Nirenberg, Estimates near the boundary
for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions, Comm. Pure Appl. Math., (17)1964 35-92.
[6] M. Renardy, J. Rogers, Introduction to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1993.
[7] M.D. Griffin, E. Jones, J.D. Anderson, A computational fluid dynamic technique valid
at the centerline for non-axisymmetric problems in cylindrical coordinates, J. Comput. Phys., 30(1979) 352-364.
[8] W. Huang, D.M. Sloan, Pole condition for singular problems: The pseudo-spectral approximation, J. Comput. Phys., 107(1993) 254-365.
[9] T. Matsushima, P.S. Marcus, A spectral method for polar coordinates, J. Comput. Phys., 120(1995) 365-377.
[10] R. Verzicco, P. Orlandi, A finite difference scheme for three dimensional incompressible flows in cylindrical coordinates, J. Comput. Phys., 123(1996) 402-415.
[11] P.E. Merilees, The pseudospectral approximation applied to the shallow water equations on a sphere, Atmosphere, 13(1)(1973) 897-910.
[12] K. Mohseni, T. Colonius, Numerical treatment of polar coordinate singularities, J. Comput. Phys., 157(2000) 787-795.
[13] P.D. Lax, B. Wendroff, Systems of conservation laws, Comm. Pure Appl. Math., 13(1960) 217-237.
[14] A. A. Samarskii, V. B. Andreev, Difference Methods for Elliptic Problems, Nauka, Moscow, 1976(in Russian).
[15] W. Hackbush, Iterative Solution of Large Sparse Systems of Equations, Springer-Verlag, Berlin, 1994.
[16] A. M. Bruaset, A Survey of Preconditioned Iterative Methods, Addison-Wesley, 1995.
[17] W. Hackbush, Iterative Solution of Large Sparse Systems of Equations, Springer-Verlag, Berlin, 1994.
[18] A. Hasanov, I.S. Kaporin, Application of the elimination method in the solution of strongly elliptic systems by the finite element method, Zh.-Vychisl.-Mat.-i-Mat.-Fiz. [Akademiya-Nauk-SSSR.-Zhurnal-Vychislitelnoi-Matematiki-i-Matematicheskoi-Fiziki] 26(6)(1986) 837-850.
[19] P.C. Hansen, Rank-Deficient and Discrete Ill-Posed Problems: Numerical Aspects of Linear Inversion, SIAM, Philadelphia, PA, 1996.